Rudarsko-geološko-naftni fakultet FIZIKA Valovi prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/studenti/fizika/fizika.html Željko Andreić – Fizika 2009/10: P5

kratki sadržaj: 1. Uvod - valovi na vodi 2. Osnovna svojstva valova 3. Zbrajanje valova 4. Stojni valovi 5. Prikazivanje (vizualizacija) valova 6. Hygensov princip 7. Vrste valova

Valovi na vodi

Valovi na vodi 2: - val nastaje poremećajem tvari u kojoj se val širi. - val je pojava koja putuje kroz prostor. - brzina širenja vala po površini vode je u svim smjerovima ista, što se vidi se iz kružnog oblika vala. - val se može širiti po površini tvari. - pažljivim opažanjem primijetit ćemo da se veličina vala smanjuje s udaljenošću od izvora. - razmak susjednih valova se ne mijenja.

Valna jednadžba: Jednadžba koja opisuje valove nešto je složenija od jednadžbe harmonijskih titranja jer sadrži i prostorne i vremenske derivacije: Shodno tome i opće rješenje je složenije: funkcija f1 opisuje val koji se širi u +x smjeru, a funkcija f2 val koji se širi u -x smjeru. c je brzina širenja vala.

Osnovna svojstva valova: Zamislimo si da val u jednom trenutku "zamrznemo", naprimjer pomoću fotografije:

Osnovna svojstva valova 2:  x z  A A  Oblik površine tekućine (val) možemo opisati formulom: gdje je k tzv. valni broj:

Osnovna svojstva valova 3: P (xT,z(t)) x z Ako predmet P držimo na fiksnoj koordinati xT i pratimo kako se njegova z koordinata mijenja u vremenu, dobit ćemo slijedeći grafikon: t z(t) A -A T

Osnovna svojstva valova 4: Gibanje predmeta P u vremenu je periodičko. To gibanje se (isto kao i tiranje) opisuje vremenskim periodom T, a amplituda pomicanja A je naravno ista kao u prostornoj slici vala. Uz period se često koristi frekvencija vala: ili kutna frekvencija: Izgled vala sad opisujemo izrazom:

Osnovna svojstva valova 5: Ako se val širi u smjeru +x osi, usporedbom sa općim rješenjem valne jednađžbe: nalazimo da naš opis treba biti: uz: i: zamijenimo li u drugoj formuli  sa frekvencijom i k sa valnom duljinom, nalazimo poznatu formulu koja vrijedi za sve valove:

Osnovna svojstva valova 6: Time jednadžba našeg vala postaje: Pri čemu je fazna kostanta o određena početnim uvjetima.

Zbrajanje valova U stvarnim situacijama se istovremeno pojavljuje mnogo različitih valova. U takvim situacijama valovi se zbrajaju na isti način kao i titranja. Za ilustraciju uzmimo dva vala iste frekvencije i istih faznih konstanti: zbroj je:

Zbrajanje valova - iste faze

Zbrajanje valova u protufazi Ako su pak dva vala iste frekvencije pomaknute u fazi za pola titraja (): onda je zbroj:

Zbrajanje valova u protufazi 2

Zbrajanje valova - pomak u fazi 1 rad

Fourier-ov teorem Svaki zbroj proizvoljnih valova može se napisati kao:

Zbrajanje valova - udari Udari nastaju zbrajanjem mnoštva valova bliskih frekvencija. a. zbroj dva vala malo različitih frekvencija (1 i 1,04 s-1):

Udari 2 b. zbroj deset valova malo različitih frekvencija:

Stojni valovi Stojni val nastaje kad se zbroje dva vala koja putuju u suprotnim smjerovima: Kod zbrajanja upotrijebimo trigonometrijsku relaciju: Konačni rezultat je:

Stojni valovi 2 Ovaj val miruje u prostoru, i u danoj točki oscilira oko ravnotežnog položaja amplitudom 2Acos(kx). Mjesta na kojima je amplituda vala maksimalna (u apsolutnom smislu) nazivaju se trbusi stojnog vala, a mjesta u kojima je ona nula čvorovi. Primjer: titranje nategnute žice. Žica je učvršćena na krajevima, a val nastaje ako žicu potezanjem dovedemo u stanje titranja. Učvrščeni krajevi žice postaju čvorovi vala (ne mogu titrati!). Ako je razmak krajeva žice l, val osnovne frekvencije imat će valnu duljinu =2 l jer takav val na duljini l ima dva čvora sa jednim trbuhom između.

Stojni valovi 3 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 Valne duljine harmonika su:

Energija valova Iako se val širi kroz prostor, tvar kroz koju on prolazi miruje. Na mikroskopskoj razini čestice tvari zbog prolaska vala titraju oko svojeg ravnotežnog položaja, opisujući pri tome harmoničko gibanje. Znamo od prije da harmoničko titranje posjeduje određenu energiju, koja je proporcionalna kvadratu amplitude tiranja. Iz toga možemo zaključiti da i val posjeduje neku energiju, koja će također biti proporcionalna kvadratu amplitude vala. Kako val putuje kroz prostor, tako i njegova energija putuje zajedno s njime. Drugim riječima, val prenosi energiju kroz prostor.

Prikazivanje valova Valove uglavnom ne možemo vidjeti, a apstraktna analiza njihovih svosjtava znade biti prilično kompleksna i nepregledna. U takvoj situaciji koristimo se raznim vizualizacijama koje pojednostavljeno prikazuju valove i njihovo ponašanje. Tu se najčešće koristi pojam zraka i valnih fronti. Zraka se često koristi u optici gdje predstavlja svjetlosnu zraku koju si možemo predočiti kao vrlo tanki snop svjetla. Matematički je zraka pravac koji ide u smjeru u kojem se val širi. Valna fronta je zamišljena ploha koja povezuje sve točke vala iste faze, najčešće one u kojima je pomak vala maksimalan. Val ima mnogo valnih fronti, koje su u prostoru međusobno razmaknute za valnu duljinu, a u vremenu za period vala.

Prikazivanje valova 2 U homogenom i izotropnom sretstvu zrake su okomite na valne fronte. elementarni izvor zraka    zraka valna fronta

Sferni i ravni val sferni val ravni val

Valni snop

Huygensov princip Svaka točka valne fronte fronta 1 fronta 2 r smjer širenja elementarni izvor Svaka točka valne fronte postaje elementarni izvor koji u prostor ispred sebe šalje sferni val. Polumjer tog vala dan je umnoškom proteklog vremena i brzine vala: Nova valna fronta je ploha koja dira sve tako nastale sferne valove.

Primjer: širenje ravnog vala valna fronta 2 r valna fronta 1 U ovom slučaju nova valna fronta je također ravna i paralelna je sa početnom frontom, a od nje je odmaknuta za put koji je val prevalio u proteklom vremenu (r=vt).

Primjer: odbijanje (refleksija) ravnog vala 1 2 2' 1' r=s s   Ako val naiđe na granicu izmedu dvije različite tvari, dolazi do njegova loma ili odbijanja. Konstrukcija pokazuje da je kut odbijanja jednak kutu upada, što je poznati zakon refleksije.

Primjer: lom (refrakcija) ravnog vala 1 2 2' 1'   s1 r v1(>v2) v2 s2 Prilikom loma val ulazi u drugo sretstvo pod kutem  u skladu sa Snellovim zakonom loma.

Podjela valova po tvari kroz koju se šire Većina valova nastaje mehaničkim titranjem tvari kroz koju se val širi. Takvi valovi nazivaju se mehanički valovi. Valovi koji nastaju titranjem elektromagnetnog polja nazivaju se elektromagnetni valovi. Oni se mogu širiti i koz zrakoprazan prostor (vakuum). Danas znamo da i gravitacija može proizvesti valove. To su gravitacijski valovi. Kao i elektromagnetski valovi oni se mogu širiti i koz zrakoprazan prostor (vakuum).

Podjela valova po načinu širenja Valovi se najčešće šire kroz cijeli prostor (volumen tvari). Takove valove nazivamo prostorni ili volumni valovi. Primjeri takvih valova su elektromagnetni valovi i zvučni valovi. Osim njih postoje i valovi koji se šire po površini tvari. Oni se nazivaju površinski valovi.

Elektromagnetski valovi

Elektromagnetski valovi 2