K O M B I N A T O R I K A   Obravnava posebne naloge povezane s končnimi množicami. Kompleksija je podmnožica končne množice Število elementov v kompleksiji.

Predstavitev na temo: "K O M B I N A T O R I K A   Obravnava posebne naloge povezane s končnimi množicami. Kompleksija je podmnožica končne množice Število elementov v kompleksiji."— Zapis predstavitve:

1 K O M B I N A T O R I K A   Obravnava posebne naloge povezane s končnimi množicami. Kompleksija je podmnožica končne množice Število elementov v kompleksiji imenujemo red kompleksije V kompleksiji so lahko : vsi elementi dane množice hkrati 1.  le del elementov dane množice ne glede na njihov vrstni red 1.  le del elementov dane množice z upoštevanjem vrstnega reda

2 V kompleksiji lahko : vsak element nastopa le enkrat (kompleksije brez ponavljanja) tudi ponavljanje elementov(kompleksije s ponavljanjem) Glede na različne možnosti, kompleksije poimenujemo : n     permutacije n     variacije n     kombinacije

3 Osnovni izrek kombinatorike
Odločitveni proces poteka v dveh fazah. V prvi izbiramo element x A, v drugi fazi pa element y B.Če je v A vseh elementov m in v B vseh elementov n, potem je po obeh fazah skupnih odločitev m.n ! Posplošitev na k množic ! Kadar je kakšna odločitev sestavljena iz več faz in so možnosti izbiranja v posameznih fazah neodvisne od sprejetih odločitev v prejšnjih fazah, je število vseh možnih skupnih odločitev enako produktu števil možnih odločitev v posameznih fazah.

4 PERMUTACIJE brez ponavljanja
Dana je množica z n različnimi elementi ! Vprašanje : Koliko različnih vrstnih redov lahko sestavimo iz n različnih elementov ? Posamezni razvrstitvi pravimo permutacija. Število možnih vrstnih redov je :

5 PERMUTACIJE s ponavljanjem
Vzemimo najprej, da je med n elementi r med seboj enakih, preostalih n-r pa je različnih.Govorimo o permutacijah s ponavljanjem ! Vprašanje : koliko je možnih vrstnih redov ? Odgovor :

6 Posplošitev ! Imamo k skupin enakih elementov , tako da je v prvi skupini enakih elementov, v drugi , …, v k-ti skupini pa elementov. Velja Število možnih razporeditev je:

7 Variacije brez ponavljanja
Iz množice z n različnimi elementi sestavljamo kompleksije reda r brez ponavljanja in različne razporeditve elementov v njih smatramo za različne kompleksije. Take kompleksije imenujemo variacije brez ponavljanja reda r. Število variacij je

8 Variacije s ponavljanjem
Število vseh variacij s ponavljanjem n elementov reda r je : Če v variacijah reda r dopuščamo ponavljanje elementov, govorimo o variacijah s ponavljanjem

9 Kombinacije brez ponavljanja
Izmed elementov množice sestavljamo kompleksije reda r brez ponavljanja, pri tem pa nas vrstni red elementov v kompleksijah ne zanima - kompleksije smatramo za enake, če vsebujejo iste elemente, pravimo jim kombinacije brez ponavljanja. Koliko kombinacij brez ponavljanja reda r lahko sestavimo iz n različnih elementov ? Odgovor :

10 Kombinacije s ponavljanjem
Če v kombinacijah dopuščamo možnost ponavljanja elementov, govorimo o kombinacijah s ponavljanjem. Število vseh možnih kombinacij s ponavljanjem reda r izmed n elementov je

11 Vezane kombinacije Imamo dve množici in sicer je v prvi m različnih elementov in v drugi n različnih elementov. Iz prve množice izbiramo kombinacijo reda r in iz druge reda s Obe izbrani kombinaciji združimo v novo vezano kombinacijo , ki ima red r+s. Koliko je vseh vezanih kombinacij ? Odgovor :

12 Posplošitev ! Če imamo k množic tako, da izberemo iz prve ,ki ima
elementov elementov, iz druge,ki ima elementov, izberemo elementov, …,iz k-te,ki ima izberemo elementov. V tem primeru je število vseh možnih vezanih kombinacij