Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Predstavitev na temo: "Rudarsko-geološko-naftni fakultet"— Zapis predstavitve:

1 Rudarsko-geološko-naftni fakultet
FIZIKA Gibanja i sile prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu

2 Kratki sadržaj: 1. koordinatni sustavi 2. grafičko prikazivanje fizikalnih veličina 3. kinematika i dinamika materijalne točke 4. gibanje u više dimenzija 5. Newton-ovi aksiomi 6. impuls sile i količina gibanja 7. sila trenja

3 Koordinatni sustavi Za određivanje položaja tijela koristimo se koordinatnim sustavima koji su uglavnom istovjetni onima koji se koriste u matematici. Osnovni koordinatni sustav je pravokutni kartezijev sustav. Izgled i odvijanje fizikalne pojave ne može ovisiti o koordinatnom sustavu (vrijedi za k. sustave u mirovanju ili jednolikom gibanju), pa ishodište i smjer osi biramo tako da problem bude što je moguće jednostavniji. Koordinatni sustavi koji se koriste u fizici uvijek su desni!

4 Desni koordinatni sustavi
Desni koordinatni sustav je onaj kod kojeg desni vijak koji stoji u smjeru z osi napreduje u +z smjeru kad se zakreće od +x-osi prema +y-osi. Češće: pravilo desne ruke: ako ispružene prste desne ruke postavimo u smjer +x osi, pa nakon toga prste najkraćim putem savinemo prema +y osi, ispruženi palac pokazuje smjer +z osi. Ovisno o simetriji, neke jednadžbe u lijevim koordinatnim sustavima mijenjaju predznake pa se zato lijevi koordinatni sustavi izbjegavaju!

5 Lijevi i desni koordinatni sustavi
x y z Lijevi sustav x y z Desni sustav

6 Cilindrični koordinatni sustav
T(,,z) z T(x,y,z) Ako problem ima rotacionu simetriju, koristi se ovaj sustav jer je u njemu moguće lakše računati.  y To je zapravo polarni koordinatni sustav u X-Y ravnini, kojem smo dodali z-os!  x

7 Cilindrični koordinatni sustav 2
 x y z T(x,y,z)  T(,,z)

8 Sferni koordinatni sustav
x z T(x,y,z) Za probleme sa sfernom simetrijom. r   y

9 Sferni koordinatni sustav 2
  x y z r

10 Zemljopisni koordinatni sustav
Je podvrsta sfernog koordinatnog sustava: Kut  naziva se zemljopisna dužina i mjeri se od početnog (tzv. nultog) meridijana od 0o do 180o u smjeru istoka (E) i od 0o do 180o u smjeru zapada (W). Umjesto E i W često se koriste se predznaci + i - ( +=W, -=E). Kut  naziva se zemljopisna širina i mjeri se od x-y ravnine (koja se podudara sa zemljinim ekvatorom) od 0o do 90o u smjeru sjevera (N) i od 0o do 90o u smjeru juga (S). Umjesto N i S često se koriste predznaci + i -, (+=N, -=S).

11 Zemljopisni koordinatni sustav 2
Udaljenost r najčešće se ne koristi jer su za položaj na zemljinoj površini dovoljne samo dvije koordinate, zemljopisna širina i zemljopisna dužina. Ako je ipak potrebno poznavanje udaljenosti r, ona se naziva nadmorska visina i mjeri se od tzv. srednjeg geoida koji otprilike odgovara morskoj površini, a ne od središta zemljine kugle. Formule pretvorbe iz kartezijevog koordinatnog sustava u zemljopisni prilagođene su gornjim definicijama koordinata i razlikuju se od formula koje vrijede za standardizirani sferni koordinatni sustav.

12 Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka
Rezultati proučavanja fizikalnog modela neke pojave ili procesa uglavnom su brojčane vrijednosti fizikalnih veličina sa kojima opisujemo taj model. One su često izražene kao funkcije vremena ili neke druge fizikalne veličine. U prvom koraku te se vrijednosti tabeliraju (primjer: vodostaj rijeke).

13 Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 2
Tablice su nepregledne pa se podaci u idućem koraku prikazuju na grafikonima. papir Grafikon je u svom osnovnom obliku kartezijev koordinatni sustav u ravnini. prostor za grafikon x-os se postavlja horizontalno i naziva se os apscisa, a y-os se postavlja vertikalno i naziva se os ordinata. Veličina grafikona određuje se prema veličini papira. Naprimjer, za format A4 ca. 16 cm širine i 12 cm visine.

14 Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 3
Prvo se nacrtaju osi grafikona. Pri tome treba ostaviti mjesta za nazive osi i oznake podjela na osima! naslov (ime) grafikona os ordinata Grafikon može imati i naslov. oznake podjela i naslov osi Os apscisa uvijek prikazuje nezavisnu fizikalu veličinu! os apscisa oznake podjela i naslov osi

15 Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 4
U našem primjeru to bi izgledalo ovako: Podjele na osi ordinata ne moraju biti jednake podjelama na osi apscisa! Vodostaj Save kod Zagreba 120 160 200 vodostaj (cm) Osi se ne moraju sijeći u ishodištu, nego tako da se maksimalno iskoristi prostor. proteklo vrijeme (dani) Primijetite da uz naziv osi obavezno idu i mjerne jedinice veličine koja se na osi prikazuje.

16 U priređeni grafikon sad se unose podaci (točke)
Vodostaj Save kod Zagreba 200 vodostaj (cm) 160 120 proteklo vrijeme (dani)

17 Kinematika Kinematika se bavi zakonima gibanja, bez obzira na njihov uzrok. Najjednostavnije gibanje je pravocrtno gibanje (gibanje po pravcu):

18 Pravocrtno gibanje t = t0 t = t2 t = t1 x O x(t0) x(t1) x(t2)
Gibanje tijela pratimo tako da njegov položaj zabilježimo u vremenskim trenucima t0, t1, ... tn

19 Tablični prikaz pravocrtnog gibanja
Rezultat prikazujemo tablično. Lijeva kolona je nezavisna veličina (vrijeme) a desna zavisna (prevaljeni put). t [min] x(t) [m] 5 300 12 930 18 1360 22 1840 28 2200 t [s] x(t) [m] 300 720 930 1080 1360 1320 1840 1680 2200

20 Grafički prikaz pravocrtnog gibanja
Prijeđeni put x (m) Grafički prikaz mnogo je pregledniji. Izmjerene točke spajamo ravnim linijama.

21 Pojam srednje brzine Prijeđeni put x3 x4 x 4 x (m) t3 t4 t 3

22 Pojam srednje brzine 2 srednja brzina:
ili, v34 = ( )/( ) = 1,19 m/s srednju brzinu možemo računati i za druge dijelove puta: v12 = 1,00 m/s v23 = 1,50 m/s v16 = 1,31 m/s v45 = 2,00 m/s v56 = 1,00 m/s

23 Definicija trenutne brzine
ako vremenski interval t sve više smanujemo, dolazimo do trenutne brzine: odnosno: Brzina je derivacija puta po vremenu!

24 Trenutna brzina 2 Prijeđeni put trenutna brzina (glatka krivulja)
x (m) spojnice mjernih točaka (ravne)

25 Geometrijska definicija stvarne brzine
Prijeđeni put 500 1000 1500 2000 2500 s (m) t (s) t x(t) x (m) Geometrija: v(t) je koef. smjera tangente na krivulju x(t) u točki t

26 Ubrzanje Ubrzanje je vremenska promjena brzine:
odnosno druga derivacija puta po vremenu:

27 Primjer 1. Neka je put koji je neko tijelo prevalilo opisan sa:
Put je izražen u metrima, a vrijeme u sekundama. Izračunajte brzinu i ubrzanje tijela i prikažite ih grafički.

28 Rješenje: znamo da je: deriviranjem nalazimo: v(t) = 0 za t<0 s
v(t) = 0,6t2 - 3,2t ms-1 za 0<t<5,33 s v(t) = 0 za t>5,33 s dalje na isti način nalazimo ubrzanje ( ): a(t) = 0 za t<0 s a(t) = 1,2t - 3,2 ms-2 za 0<t<5,33 s a(t) = 0 za t>5,33 s

29 Rješenje 2: Sada izračunamo tablicu najvažnijih točaka za crtanje grafikona (početak i kraj gibanja, ekstremi brzine i ubrzanja i nekoliko točaka između): t(s) x(m) v(ms-1) a(ms-2) ,2 , , ,0 , , ,8 , , ,4 , , ,6 , , ,8 5, , ,2 2, , Iz tablice odredimo raspon vrijednosti za osi apscise i ordinate za x-t (s-t) grafikon i počnemo crtanje.

30 x-t (s-t) grafikon: x (m) 12 8 4 2 4 6 -4 t (s) 5,33
t(s) x(m) v(ms-1) a(ms-2) ,2 ,6 2, ,0 ,2 -4, ,8 ,0 -4, ,4 ,8 -3, ,6 ,0 -1, ,8 5,33 -4, ,2 2, , x (m) 12 8 4 2 4 6 5,33 -4 t (s)

31 v-t grafikon: v (ms-1) 2 4 6 t (s) -2 -4 5,33 2,67
t(s) x(m) v(ms-1) a(ms-2) ,2 ,6 2, ,0 ,2 -4, ,8 ,0 -4, ,4 ,8 -3, ,6 ,0 -1, ,8 5,33 -4, ,2 2, , v (ms-1) 2 4 6 t (s) 5,33 2,67 -2 -4

32 a-t grafikon: a (ms-2) 2 2 4 6 t (s) -2 5,33 2,67
t(s) x(m) v(ms-1) a(ms-2) ,2 ,6 2, ,0 ,2 -4, ,8 ,0 -4, ,4 ,8 -3, ,6 ,0 -1, ,8 5,33 -4, ,2 2, , a (ms-2) 2 2 4 6 t (s) 5,33 2,67 -2

33 Inverzni problem u fizici
znamo ubrzanje, zanima nas brzina i prijeđeni put: v0 = v(t=0) je tzv. početni uvjet. Dalje je:

34 Primjer 2. Kod jednolikog gibanja ubrzanja nema. Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put, ako je u trenutku t=0 brzina tijela vo i položaj xo. 𝑎 𝑡 =0 𝑣 0 = 𝑣 𝑜 𝑥 0 = 𝑥 𝑜 𝑣 𝑡 = 0∙𝑑𝑡 + 𝑣 𝑜 = 𝑣 𝑜 𝑥 𝑡 = 𝑣 𝑜 𝑑𝑡+ 𝑥 𝑜 = 𝑣 𝑜 𝑡+ 𝑥 𝑜 U ovom slučaju kod inverznog problema moramo dodatno poznavati dva početna uvjeta (početni položaj i početna brzina)

35 Primjer 3. Kod slobodnog pada ubrzanje je konstatno i jednako g (g=9,81 ms-2). Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put, ako je u trenutku t=0 brzina tijela v0 i položaj x0. 𝑎 𝑡 =𝑔 𝑣 0 = 𝑣 𝑜 𝑥 0 = 𝑥 𝑜 𝑣 𝑡 = 𝑔∙𝑑𝑡 + 𝑣 𝑜 =𝑔∙𝑡+ 𝑣 𝑜 𝑥 𝑡 = (𝑔∙𝑡+ 𝑣 𝑜 ) 𝑑𝑡+ 𝑥 𝑜 = 𝑔 2 𝑡 2 + 𝑣 𝑜 𝑡+ 𝑥 𝑜

36 Gibanje u više dimenzija
t=t1 t=t2 t=t3 x O y s(t) s1,2 r3 r2 r1 Trenutni položaj materijalne točke opisuje se radijus vektorom r (t).

37 Gibanje u više dimenzija 2
Radijus vektor tijela je vektorska funkcija vremena. Vrh radijus vektora opisuje prostornu krivulju koja predstavlja putanju tijela u prostoru. Vektor pomaka s1,2 definira se kao s1,2 = r2 - r1 Brzina i ubrzanje su isto tako vektorske funkcije:

38 Primjer 4. Kod kosog hica tijelo je u trenutku t=0 izbačeno iz ishodišta brzinom v0. Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put. 𝑟 𝑜 = 𝑣 𝑜 = 𝑣 𝑥𝑜 𝑖 + 𝑣 𝑦𝑜 𝑗 x y 𝑎 =0 𝑖 −𝑔 𝑗 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑣 𝑜 vo 𝑣 =−𝑔 𝑗 𝑑𝑡 + 𝑣 𝑜 = 𝑣 𝑜 −𝑔𝑡 𝑗 𝑟 = 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑟 𝑜 g 𝑟 = 𝑣 𝑜 𝑑𝑡−𝑔 𝑡 𝑗 𝑑𝑡 + 𝑟 𝑜

39 Primjer 4. - nastavak 𝑟 = 𝑟 𝑜 + 𝑣 𝑜 𝑡 − 𝑔 2 𝑡 2 𝑗
𝑟 = 𝑟 𝑜 + 𝑣 𝑜 𝑡 − 𝑔 2 𝑡 2 𝑗 Ovo rješenje još možemo raspisati po komponentama: 𝑟 𝑥 = 𝑟 𝑥𝑜 + 𝑣 𝑥𝑜 𝑡 𝑟 𝑦 = 𝑟 𝑦𝑜 + 𝑣 𝑦𝑜 𝑡− 𝑔 2 𝑡 2 𝑟 𝑥 𝑖 + 𝑟 𝑦 𝑗 = 𝑟 𝑥𝑜 + 𝑣 𝑥𝑜 𝑡 𝑖 +( 𝑟 𝑦𝑜 + 𝑣 𝑦𝑜 𝑡 − 𝑔 2 𝑡 2 ) 𝑗 Kut ispaljivanja (prema horizontali): tan 𝜑 𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜 𝑣 𝑥𝑜 itd...

40 Dinamika Dinamika proučava gibanje tijela preko uzroka koji gibanje izaziva. Uzrok gibanja je djelovanje različitih sila. Sila se prikazuje kao vektorska veličina, s vrhom vektora u točci u kojoj sila djeluje, i duljinom proporcionalnom jačini sile. Sile su najčešće vremenski promjenjive (funkcije vremena). Same sile dinamika ne definira, ali objašnjava posljedice njihovog djelovanja.

41 Newton-ovi aksiomi Aksiom (grč. aksios - bez) je "temeljna istina" koja se ne dokazuje i služi kao osnova neke teorije. Za razliku od dogme uglavnom se ne tvrdi njena nužna istinitost jer je to logički nemoguće utvrditi, nego se uzima kao pretpostavka na kojoj se gradi teorija. Kao i fizikalni zakoni, aksiomi se provjeravju pokusima! I Newton-ov aksiom: Kad na tijelo ne djeluje nikakva sila, ili je zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, tijelo miruje ili se giba jednoliko po pravcu. V = const.

42 II Newton-ov aksiom II Newton-ov aksiom: Promjena količine gibanja tijela jednaka je sili koja na to tijelo djeluje, a odvija se u smjeru sile. Matematički zapis II. Newton-ovog aksioma:

43 II Newton-ov aksiom 2 raspisano:
Samo ako je masa konstantna to postaje:

44 III Newton-ov aksiom III Newton-ov aksiom: Ako jedno tijelo djeluje nekom silom na drugo tijelo, tada drugo tijelo djeluje na prvo silom istog iznosa a suprotnog smjera. Fab = - Fba Ovaj aksiom poznat je i kao zakon akcije i reakcije.